यदि $\sin \theta + 2\sin \phi + 3\sin \psi = 0$ और $\cos \theta + 2\cos \phi + 3\cos \psi = 0$ है,तो $\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi = $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल (cube roots of unity) हैं,तो उनका गुणनफल क्या होगा?

एक नियमित $10$-भुज (decagon) पर विचार करें जिसके शीर्ष इकाई वृत्त पर स्थित हैं। एक शीर्ष को स्थिर रखकर,अन्य $9$ शीर्षों तक सीधी रेखाएँ खींचें। उन्हें $L_1, L_2, \ldots, L_9$ कहें और उनकी लंबाइयों को क्रमशः $l_1, l_2, \ldots, l_9$ द्वारा दर्शाएं। तब,गुणनफल $l_1 \times l_2 \times \ldots \times l_9$ है

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\sum_{k=1}^6\left(\omega^k+\frac{1}{\omega^k}\right)^2=$

माना $z_k = \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right) + i \sin \left(\frac{2k\pi}{10}\right); k = 1, 2, \ldots, 9$.

सूची-$I$	सूची-$II$
$P.$ प्रत्येक $z_k$ के लिए एक ऐसा $z_j$ मौजूद है कि $z_k \cdot z_j = 1$	$1.$ सत्य
$Q.$ एक ऐसा $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ मौजूद है कि $z_1 \cdot z = z_k$ का सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में कोई हल नहीं है।	$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{|1-z_1||1-z_2| \ldots |1-z_9|}{10}$ का मान	$3.$ $1$
$S.$ $1 - \sum_{k=1}^9 \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right)$ का मान	$4.$ $2$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

$(-1+i \sqrt{3})^{60} = ?$